Hijo de Juan de Unanue y Leonarda de Esparza, nació en Bilbao (Vizcaya) el 5 de abril de 1812, siendo bautizado ese mismo día en la iglesia parroquial de los Santos Juanes. Fue discípulo particular de Ugartemendía y desde agosto de 1835 hasta noviembre de 1836 del arquitecto y académico de mérito Mariano José de Lascuráin, con quien asistió a las obras a su cargo y a cuantas operaciones prácticas se le ofrecieron durante este tiempo.

El 29 de diciembre de 1838 solicitó de la Academia de San Fernando su admisión a los ejercicios para la clase de maestro arquitecto, presentando como prueba de pensado el proyecto de una Casa de aduana con intendencia y demás oficinas de hacienda para el puerto de Santander  (del A- 1100 al A-1103 ) con su informe facultativo y el avance del coste de la obra, la partida de bautismo, la certificación de práctica librada desde San Sebastián por su profesor Mariano José de Lascuráin y la justificación de su conducta moral y política.  

La Junta de la Comisión de Arquitectura celebrada el 22 de enero de 1839 examinó la obra y los documentos aportados, acordando el pase del pretendiente al resto de los ejercicios de reglamento. Fue admitido en la Junta Ordinaria del 27 del mismo mes, fecha en la que le fueron sorteados los programas de repente. Le tocaron en suerte los números 3, 28 y 117, los cuales respondieron respectivamente: «Casa tribunal y habitación para un Magistrado Alcalde de Corte ó Ministro de una Audiencia. Planta, fachada y corte», «Tribunal de comercio con Salon espacioso para comerciantes y litigantes, sala para el Juzgado y algunas otras piezas para Secretaría, Archivo y para Porteros. Planta y Alzados» y «Una Casa de Campo para un Señor de titulo con Jardines y Estanques de Recreo y pesca: Planta, fachada y corte geométricos». De los tres asuntos escogió el nº 28, es decir, Un tribunal de comercio con sus oficinas correspondientes (A- 1237), elección que comunicó a la corporación el 31 de enero.

La Junta de Examen tuvo lugar el 20 de febrero de 1839, asistiendo a ella como vocales los profesores Custodio Moreno, Tiburcio Pérez, José Joaquín de Troconiz, Eugenio de la Cámara  y Juan Miguel de Inclán Valdés. Cotejada la obra de pensado con la de repente se vieron muy bien desempeñadas por lo que fueron elogiados sobremanera; no obstante, al entrar Unanue en la sala a fin de hacer el examen teórico le notaron con ciertas alteraciones que fueron aumentando hasta el punto de no poderse sostener y serle imposible la realización del nuevo ejercicio, de ahí que se acordase la suspensión del examen y dejarlo pendiente para cuando el interesado estuviera recuperado.

La Junta de Examen se reunió el 10 de abril de 1839 asistiendo a ella los mismos profesores excepto José Joaquín de Troconiz. Se cotejó nuevamente la obras de pensado y el ejercicio de repente que el pretendiente explicó una vez entrado en la sala, pero le vieron «casi igual timidez y trastorno al que manifestó en la mañana del citado 20 de febrero». A continuación Unanue comenzó el examen teórico contestando a las preguntas que le hicieron los profesores sobre los sólidos, su forma y nombres, la medida de los mismos en volumen y la superficie de sus centros. Después figuró  dos superficies diferentes que midió dando idea de sus principales operaciones. Enseguida trató la medida y la tasación de una casa formando el croquis y explicando el modo de levantar el plano que asegurase su acierto. Asimismo la cubierta de su obra que había presentado para los tejados, limas y la medida de sus faldones, pasando enseguida a la formación de una armadura que figuró en el encerado explicando su construcción. Por último habló acerca de la resistencia y la colocación apropiada de las maderas, los replanteos de los cimientos y la construcción de los muros, el empleo de la mano de obra y los materiales en la edificación.

Satisfechos los examinadores con los ejercicios ejecutados y las explicaciones dadas a las preguntas formuladas le encontraron hábil para ostentar el título de maestro arquitecto, grado que le fue concedido en la Junta Ordinaria del 5 de mayo de 1839, a los 27 años de edad.

En la Junta General del 29 de septiembre de 1850 se le hicieron algunas observaciones a los planos y el presupuesto que habían realizado junto con el también arquitecto José Eleuterio de Escoriaza para la nueva cárcel que se intentaba construir en Tolosa (Guipúzcoa), momento en el que se le «manifestó estar bien entendida la construcción y demostrada con exactitud y claridad».

Al año siguiente la Sección de Arquitectura reunida el 30 de abril censuró sus planos para la reforma de la casa concejil de Aya (Guipúzcoa), que serían igualmente aprobados por la Academia en la Junta General del 8 de junio de 1851, mientras que en 1865 llevó a cabo algunas reformas para embellecer el edificio de Ayuntamiento de Villafranca de Ordizia (Guipúzcoa).

Arquitectura. Cárceles, 1842-1853. Sig. 2-30-2; Arquitectura. Casas consistoriales, 1818-1861. Sig. 2-30-5; Comisión de Arquitectura. Arquitectos, 1839. Sig. 2-11-1; Comisión de Arquitectura. Informes, 1839-1850. Sig. 1-30-5; Libro de actas de juntas ordinarias, extraordinarias, generales y públicas, 1848-1854. Sig. 3-91; Libro de registro de maestros arquitectos aprobados por la Real Academia de Bellas Artes de San Fernando, 1816-1900. Sig. 3-154, nº 209.