Hijo del académico de mérito Juan Francisco Rodrigo y Gervasia Martínez, nació en Madrid el 17 de diciembre de 1804, siendo bautizado ese mismo día en la iglesia parroquial de San Sebastián en dicha corte.  Estudió primero Latinidad, Matemáticas puras y Ciencias auxiliares, para después convertirse en alumno del Estudio de la Merced. Como discípulo de este centro solicitó en la Junta Ordinaria del domingo 13 de enero de 1822 su pase de Cabezas a Figuras, siéndole denegado el pase en la Junta Ordinaria del 24 de febrero por las obras presentadas. Volvió a solicitar el mismo pase en la Junta Ordinaria del domingo 16 de febrero de 1823, siendo de nuevo rechazada su petición en la Junta Ordinaria del 16 de marzo de 1823 al conceder la Academia los siguientes pases: «A Figuras: á Dⁿ Vicente Zarza, Dⁿ Pedro Martín y Dⁿ Lorenzo Alenza, del Estudio de la Merced.- A Cabezas: á Dⁿ Josef Martinez y Dⁿ Franco Diez, del Estudio de la calle de Fuencarral». De esta época, el Gabinete de Dibujos (Sección Dibujo Artístico) conserva entres sus fondos tres obras de Manuel Rodrigo: Dos estudios de manos (P/883), un Estudio de mano (P/896) y un Estudio de pie (P/903), todos ellos sin fechar y correspondientes a ejercicios para el pase a Cabezas.

Aprendió el arte de la Arquitectura junto a su padre, el arquitecto y académico Juan Francisco Rodrigo, con quien se instruyó en el mecanismo de la práctica de las obras desempeñando la medida de los edificios, el levantamiento de sus planos y el cálculo de los mismos. Pero también asistiendo al estudio particular del teniente director de arquitectura y académico de mérito Custodio Teodoro Moreno, como lo certifica este profesor en un documento firmado y fechado el 10 de agosto de 1829.

El 9 de agosto de 1829 Manuel Rodrigo solicitó de la Academia de San Fernando su admisión a los ejercicios para la clase de maestro arquitecto, presentando como prueba de pensado el proyecto de unas Termas públicas (del A- 1983 al A- 1985) con su informe facultativo y el avance del coste de la obra, la fe de bautismo, la certificación de práctica librada por su maestro Custodio Moreno y la justificación de su conducta moral y política.

La Junta de la Comisión de Arquitectura reunida el 11 de agosto de 1829 examinó la obra y los documentos aportados, acordando el pase del pretendiente al resto de los ejercicios de reglamento. Fue admitido en la Junta Ordinaria del 23 del mismo mes, fecha en la que le fueron sorteados los programas de repente. Le tocaron en suerte los números 31, 47 y 66, los cuales respondieron respectivamente: «Ynventar una Yglesia Parroquial para un Pueblo que tenga 40 vecinos; diseñando la planta en un terreno regular y á arbitrio del pretendiente la forma general, solo q^e la fachada pral no há de tener orden de Arquitectª; y el interior há de ser arreglado al Dorico para mayor sencillez. Planta, fachada y corte», «Una Escalera principal de tres tiros para un Palacio Real, la que se há de construir con materiales solidos é incombustibles; demostrando el proyecto en planta y corte por ancho ó largo según le convenga al Pretendiente» y «Un Mausoleo ó Panteon para un Personage y su familia, con ornatos analogos. Planta, facha y corte». De los tres asuntos escogió el nº 31, es decir, una iglesia parroquial para un pueblo de 40 vecinos, elección que comunicó a la corporación el 26 de agosto.

A la Junta de Examen celebrada el 12 de septiembre de 1829 para examinarle en la clase de maestro arquitecto, asistieron como vocales los profesores  Juan Antonio Cuervo, Antonio de Varas, Custodio Moreno y Juan Miguel de Inclán. Pero cotejada la prueba de repente con el ejercicio de pensado se «adbirtio con sorpresa que creen supuesto el mas acertado desempeño no podria fixar el justo concepto de sus Jueces porque el problema num. 31 como se halla redactado ni es aun suficiente para la clase de mro de obras por lo q^e prebenida la Junta de q^e se pudiese haber alguna equibocacion pidio el libro de programas con el objeto de cerciorarse y pedir à la Rl Academia como lo verifica por la presente se sirba acordar el q^e á la mayor brebedad posible pase este libro á la Comision de Arquitectura para la reforma, renobacion y aumento de sus asuntos; y en cuanto a Dⁿ Manuel Rodrigo, que quede sugeto á nuebos exercicios de Prueba, para en su vista proceder al examen de preguntas en teoria y práctica prebenido a la R^l orden del 29 de Julio de 1801, con arreglo à la que espirita de su primer Parrafo es tambien de necesidad q^e la misma R^l Academia se sirba estimar que los planos de invencion que deben presentar los pretendientes en plantas, fachada y cortes, todo geometrico, se entiendan arreglados á una misma escala sin cuyo requisito no se admitan en Secretaria ni se les de curso».

Ante este resultado, Manuel Rodrigo volvió a solicitar nuevo asunto de repente el 6 de noviembre de 1829, petición que fue concedida en la Junta Ordinaria del 8 del mismo mes. En este momento le sortearon los nuevos programas, tocándole en suerte en esta ocasión los números 9, 91 y 127, los cuales respondieron respectivamente: «Planta y alzados ó seccion de un Panteon Real con el sepulcro para un Sobernao, manifestando la bajada si fuese considerado en subterraneo, ó la vista y fachada principal, cuando fuese aislado», «Sala para hacer el estudio del Natural, y otra para el antiguo, con alguna habitacion para el Portero. Se demostrará en planta, fachada y una seccion» y «Planta y perfil del Presbiterio de una catedral considerada la seccion inmediata á su Arco toral e idear y delinear ademas en el mismo presbiterio la planta y alzado de un magnifico altar». De los tres asuntos escogió el nº 91, es decir, una Sala para hacer el estudio del Natural y otra para el Antiguo, con alguna habitacion para el portero (A- 186), inventariada como Una academia de bellas artes, elección que comunicó a la Academia el 13 de noviembre.

La Junta de Examen tuvo lugar el 23 de noviembre de 1829, concurriendo a ella como vocales los profesores  Juan Antonio Cuervo, Juan Miguel de Inclán, Custodio Moreno, Antonio de Varas y Martín Fernández de Navarrete. Cotejadas la obra de pensado y de repente que el pretendiente explicó una vez entrado en la sala, se procedió a la realización del examen teórico. Rodrigo comenzó este nuevo ejercicio contestando a las preguntas que le hicieron los examinadores acerca del modo de nivelar los terrenos y los diferentes tipos de intrumentos necesarios para realizar esta operación. También sobre el nivel del agua para su conducción a las fuentes y otros usos de una gran población; la elipse y el modo de trazarla; la medida y solidez de la esfera, así como su aplicación en arcos y bóvedas; el método práctico de preparar y hacer los apeos; las operaciones necesarias para medir una casa y tasar la solidez de sus paredes.

Satisfechos los examinadores con el mérito de las obras ejecutadas y las contestaciones dadas a las preguntas formuladas le creyeron apto para ostentar el título de maestro arquitecto, grado que le fue concedido por uniformidad de votos en la Junta Ordinaria del 27 de diciembre de 1829, a los 25 años de edad.

Al año siguiente solicitó por medio de su padre algunas recomendaciones para ser pensionado por la arquitectura en el extranjero, recomendaciones que surgieron efecto ya que le sería concedida una beca por Real Orden del 30 de noviembre de 1830. Durante su estancia en París viajó para conocer la práctica y la teoría de la arquitectura hidráulica, cuyo resultado fue la formación de varias memorias sobre puentes colgantes, caminos de hierro, fuentes ascendentes, pozos artesianos, maquinaria hidráulica y la construcción de esclusas de navegación de ríos y canales bajo el título «Sobre las esclusas, sus proporciones más convenientes, su construcción y reparación, el gasto de agua que éstas ocasionan, nuevo método propuesto para llenarlas y vaciarlas, nuevo sistema de esclusa, y diferentes mecanismos para ahorrar el gasto de agua». Constituye un análisis científico acerca del origen, los progresos y el estado en que se encontraban esta clase de obras, además de ser un resumen de la doctrina realizada por Gauthey en su memoria de 1780, impresa en 1783.

La obra de Gauthey fue consultada por Bails influyéndole a la hora de elaborar su Arquitectura hidráulica en 1790, pero Manuel Rodrigo incluyó las mejoras logradas hasta la fecha para llenar y vaciar las cámaras de las esclusas por conductos laterales y sifones, ya ordinarios, trasladados o invertidos, previamente tratados por Ducros, Gaspard de Prony y otros insignes ingenieros. Ante su afirmación sobre no haber existido hasta el momento sistema alguno que asegurase completamente la impermeabilidad de las obras hidráulicas, el profesor Antonio de Varas le contestó que no era cierto, porque se acababa de conocer el Tratado sobre el movimiento y aplicaciones de las aguas de José Mariano Vallejo, en cuyo Libro IV mencionaba un nuevo método de construcción hidráulica que no daba paso a filtración alguna.

Después de escuchar al profesor, continuó su memoria poniendo de relieve los esfuerzos que sobre el tema habían desarrollado Reynolds, Fulton, Betancourt, Soulages y Bossuyt para centrarse a continuación en los pozos artesianos a partir de la obra del ingeniero de minas Garnier, traducida por el oficial de la secretaría de Fomento Cristóbal Bordiú bajo el título Fuentes ascendentes, recogiendo el modo de proveer de aguas saludables y abundantes a varias localidades de nuestro país. Estos pozos artesianos son «unos surtidores naturales, que se forman taladrando el suelo con la barrena de montafia», pero no se encuentran en cualquier terreno, pues para que se formen «es necesario que concurran las circunstancias de hallarse una capa permeable al agua de las lluvias, ríos, arroyos ó torrentes, contenida entre dos impermeables, y que aquellas presente crestas en la superficie de la tierra, por donde pueda introducirse el líquido».

En Francia y su colonia argelina, estos pozos estaban generalizados desde hacía varias décadas, sobre todo cuando la Junta de Fomento de París propuso en 1829 un premio de 39 francos a la obra que mejor sirviera a su desarrollo, siendo premiada la de Garnier. A partir de entonces, se crearon centros de fabricación de aparatos, además de un cuerpo de ingenieros hidráulicos y prácticos en el manejo de la sonda, surgiendo así centenares de pozos artesianos por todo el país. Sus ventajas llevaron a otros países a seguir los pasos de Francia y concretamente en España a realizar en la década de los ochenta del siglo XIX sondeos en Muchamiel, Alicante, Vitoria, La Puebla Larga, Murcia, Valencia y Alcalá de Chivert (Castellón) entre otras muchas localidades.

También importante fue su trabajo De los caminos de Fierro y Puentes colgados. Los primeros eran de gran interés al tratar de mejorar nuestras comunicaciones interiores e indicar las ventajas que proporcionaban al comercio. Su estudio partía de la historia de los caminos de casas, tanto los que sólo eran de madera como de los que se componían de madera y hierro, los de fundición y los de hierro maleable, para centrarse después en los raíles a fin de explicar su forma y naturaleza, los motores principales, las máquinas fijas, las de vapor, las locomotoras y las de gas, distinguiendo de entre estas últimas su potencia respecto al gas consumido. Con respecto al estudio de los puentes colgados, los trató con gran extensión explayándose en las cadenas de hierro y los amarres, los estribos de fábrica y madera, la suspensión propia de este tipo de obras y en la presentación de un puente acueducto colgado donde daba idea de una cañería de agua suspendida por medio de cadenas de hierro.

Por todos estos estudios envió desde París el 17 de agosto de 1833 un oficio solicitando su admisión a los ejercicios para el grado de académico de mérito, teniendo en cuenta que debía elaborar los planos y la memoria correspondiente. La Academia estudió la petición de Rodrigo y acordó en la Junta Ordinaria del 25 de agosto pasar la citada memoria junto con los trabajos presentados por su padre en señal de su laboriosidad y los diseños de Una esclusa en el lecho de un río, de seis pies de caída, construida en el Saona, cerca de Gray (del A-5256 al A-5258) al examen particular de los directores y tenientes que componían la junta de examen. La memoria y los diseños fueron examinados primero por el profesor Juan Antonio Cuervo, que los devolvió corregido el 27 de septiembre de 1833; después por Custodio Moreno, quien los devolvió el 29 de octubre y finalmente por Antonio de Varas, que lo hizo el 28 de diciembre.

La Junta de Examen tuvo lugar la tarde del 30 de diciembre de 1833, momento en que se vio tan digna la memoria presentada como para ser colocada en la Biblioteca a fin de que los profesores disfrutaran de su beneficio y pudieran consultarla. Los examinadores dieron el voto favorable para la admisión de Manuel Rodrigo en la clase de académico, grado que le fue concedido en la Junta Ordinaria del 26 de enero de 1834, por 18 votos a favor frente a 2 en contra.

En 1837, conformándose la reina Isabel II con lo propuesto el 25 de junio por la Junta de Enajenación de edificios de conventos suprimidos, acordó resolver que, para los reconocimientos, mediciones y tasaciones de los mismos, así como de sus terrenos en Madrid, la Academia nombrase a dos arquitectos residentes en la villa sacados por suerte entre los doce que creyese más acertados. Enseguida, la corporación envió al secretario del Despacho de la Gobernación de la Península la lista de los que creía reunían la mayor inteligencia, figurando entre ellos los nombres de Juan Miguel de Inclán, Custodio Moreno, Martínez de la Piscina, Pedro Ayegui, Antonio Conde y González, Juan Francisco Rodrigo, Manuel Rodrigo y Lucio Olarieta, o los de Ladrón de Guevara, Martín Aguado, Antonio Zabaleta, José Sánchez Pescador, Tejada y Juan Morán Lavandera.

Comisión de Arquitectura. Arquitectos, 1829. Sig. 2-9-1; Comisión de Arquitectura. Informes, 1829-1838. Sig. 1-30-3; Libro de actas de juntas ordinarias, generales y públicas, 1819-1830. Sig. 3-88; Libro de actas de juntas ordinarias, generales y públicas, 1831-1838. Sig. 3-89; Libro de registro de maestros arquitectos aprobados por la Real Academia de San Fernando, 1816-1900. Sig. 3-154, nº 76; RODRIGO MARTÍNEZ, Manuel. Memoria sobre las esclusas, sus proporciones más convenientes, su construcción y reparación, el gasto de agua que éstas ocasionan, nuevo método propuesto para llenarlas y vaciarlas, nuevo sistema de esclusa, y diferentes mecanismos para ahorrar el gasto de agua, París, 1833. Sig. 3-313-5; Secretario general. Académicos. Arquitectos, 1832-1837. Sig. 1-44-3; Secretario general. Académicos de honor, 1820-1845. Sig. 1-40-7; Secretario general. Enseñanza. Pensionados. Arquitectura, 1802-1867. Sig. 1-49-7; Secretario general. Solicitudes de nombramiento de profesores para reconocimiento de obras de arquitectura, pintura, escultura y grabado, 1779-1862. Sig. 2-27-5.

Otras fuentes: VALLEJO, José Mariano, Tratado sobre el movimiento y aplicaciones de las aguas. Madrid: Imprenta de D. Miguel de Burgos, 1833.